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Ça ne tombe pas juste

mise en ligne : mardi 3 septembre 2013

28 août 2013

Je n’ai pas compris tout de suite le nombre Pi, à part sa belle graphie : π. Appris à l’école sans vraiment saisir cette propriété fascinante qui nous fait passer, en un tour de roue, du monde rationnel des entiers, au monde irrationnel, au monde transcendant.

Propriété pourtant rencontrée auparavant avec une simple fraction d’entier, rationnelle, comme 2/3 = 0,66666.. Il y a bien une infinité de 6 après la virgule, pas moyen de tomber juste, on arrondit à 7 mais c’est faux, ce n’est ni un 7 ni un 6 qui termine la séquence : elle ne s’arrête jamais. Elle s’arrête quand l’on peut diviser en deux tiers des entiers, par exemple trois unités. Deux ici, une là, et voici la fraction donnée par quelque objet sensible. Des rations de blé, en quintaux, à quelques grains près, les coopérants seront quittes (seulement si le nombre de grains est divisible par 3).

Avec π ou √2, ça ne tombe pas juste.

Pourtant un tour de roue tombe juste (le vélo s’arrête, par exemple), et la diagonale d’un carré d’un centimètre de côté tombe juste également, ce sont des longueurs finies, que l’on peut tenir entre deux doigts, mais quelque chose en elles est infini. Car même en dessinant tout cela, seul le 1 du côté ou le 1 du rayon seront justes sur la règle, π (qui n’est, en plus de ça, la racine de rien du tout) et √2 seront à peu près là, jamais tout à fait pile sur aucune graduation, si fine soit-elle dessinée.

Je me souviens que √2 se trouve grâce à cette formule magique apprise à l’école, nous venant de Pythagore (et sans doute d’avant et d’ailleurs), permettant de calculer la longueur du côté c opposé à l’angle droit formé par les côté a et b d’un triangle rectangle a2 + b2 = c2. Avec a et b valant 1, c vaut donc √2. Voir la démonstration géométrique, très claire.

La racine carrée de 2 fut peut-être la première découverte de l’irrationalité (nombre que l’on ne peut écrire sous forme de fraction d’entiers), Aristote : "Ils prouvent que la diagonale du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l’on admet qu’il lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair" [1].

(Notons ici qu’il existe des cas encore plus problématique : "On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle." [2] ; et d’autres curieusement bien définis, ou pas tant que ça)

Bref, ça ne tombe pas juste. Il y a des choses du monde qui sont nécessairement entre deux, ces nombres dont le nombre de décimales est infini, et qui ne peuvent s’écrire sous forme de fraction de deux nombres entiers, bien finis, définis, dont on peut se saisir (oui, on le peut… mais…). Une simple diagonale, un rapide tour de roue, et nous voilà perdus avec une éternité de décimales à lire, et finalement il nous faut nous arrêter à une décimale : la deuxième, la cinquième, la millième, la 2700 milliardième [3]…

(Quoi d’autre, du monde, ne tombe pas juste ? Ce qui, dans nos pensées, dans nos vies, peut s’enrouler sans fin autour de l’axe de l’infini, ce qui se termine sans pourtant jamais se terminer, ce dont on fait le tour sans jamais être sûr d’avoir clos quoi que ce soit, le côté fractal de nos gestes d’un jour auxquels s’accrochent ceux des jours précédents et à venir…)

Comment tenir entre ses mains la longueur exacte correspondant à un nombre possédant un nombre infini de décimales ? Il semble pourtant qu’on le puisse… Tout comme il est possible de construire π en dessinant un cercle, la dimension impossible est bien là, délimitée par une longueur de taille irrationnelle, finie et pourtant impossible à mesurer précisément sans approximation… Et √2 à la règle et au compas

Je me répète, je n’en finis pas. C’est ce vertige, ce paradoxe, entre ce qui est fini mais dont la mesure est impossible, toujours à rechercher la décimale suivante, et cela pendant des siècles. Pourtant cela existe, d’autant plus que ces nombres irrationnels, transcendants, se trouvent dans la nature, les mathématiques ne font que découvrir ce qui existe, il s’agit d’une science, qui comme toute science a pour but de lire le monde.

(Et puis j’imagine l’humanité, dans 1000 ou 3000 ans de progrès mathématiques et technologiques [4], qui aura calculé tant de décimales de π, par milliards de milliards de milliards etc., tomber finalement sur, irréfutable, la dernière décimale de Pi.)

Bien sûr, avant cela il avait fallu prendre conscience d’une plus grande évidence, d’une plus grande force, celle des entiers, de la possibilité de toujours pouvoir ajouter un cookie, possibilité sans laquelle il semble, paradoxalement peut-être, que cet entre-deux des entiers eux-mêmes, l’irrationalité, serait impossible.

[1] Article Wikipédia

[2] Constante de Catalan

[3] environ, ou plus

[4] si rien n’explose d’ici là

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