Mourir sans savoir

16 juin 2020

"Accédez à Internet", je clique et me retrouve sur la page d’accueil du moteur de recherche Google. C’est troublant, imaginez que je débarque sur Terre, j’aurais vite fait de poser l’égalité Internet = Google. Ce qui est faux. En réalité, c’est Facebook, c’est bien ça ?

*

Le regard mélancolique de John Conway [1] quand il exprime son regret de mourir sans savoir la signification du Groupe Monstre.

Un groupe est un ensemble d’éléments qui est doté d’une opération permettant de combiner des éléments de cet ensemble pour retrouver un élément de l’ensemble. Par exemple le groupe des entiers, noté ℤ, qui est l’ensemble de tous les entiers {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} doté de l’addition (qui compose deux entiers en un autre entier du groupe, on ne sort pas du groupe avec l’opération). Le Groupe Monstre est un groupe du même genre, mais un objet géométrique, en effet il existe des groupes d’objets et d’opérations géométriques dont on mesure la taille (l’ordre, ou cardinalité) en comptant le nombre des rotations et symétries qui permettent de retomber sur un élément du groupe. Par exemple pour le groupe des rotations et symétries d’un triangle équilatéral base en bas et pointe en haut, comme ça : △ ; avec les opérations de rotation et de symétrie qui permettent de retrouver toujours un △. On a les 3 rotations multiples de 120° uniquement, ou les symétries adéquates autour des trois bissectrices. On retrouve à chaque fois un triangle pointe en haut, avec les sommets placés autrement mais toujours un △ qui est notre ensemble. L’ordre de ce groupe particulier est donc 3 rotations + 3 symétries = 6. Pour le Monster Group il ne s’agit pas d’une figure géométrique simple comme le triangle dans un plan à 2 dimensions, ni même d’une forme en 3 dimensions, mais de quelque chose se représentant (en fait, non, on ne peut pas se le représenter) dans 196 883 dimensions, et d’ordre 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000.

Ce groupe est l’un des 26 "groupes sporadiques simples" qui ne se range dans aucune des 18 familles de groupes de la classification des groupes finis simples, au contraire de notre groupe de rotation du △ qui se range facilement dans une des 18 familles reconnues (celle des "cycliques"). J’ai cru comprendre que ces 18 familles sont définitives, la preuve a été fournie, et pareil pour les 26 indépendants, la preuve existe. Donc, effectivement, il semble bien dommage de mourir sans savoir pourquoi il existe un tel groupe monstre, le plus grand de tous (largement plus grand).

Représentation d’une projection en 3 dimensions (projetée en 2D sur votre écran), d’un groupe de Lie (une des 18 familles), en 8 dimensions et d’ordre 696 729 600.

What is this all about ?

*

Il y a 8 jours : "La Chine et l’Inde s’accordent pour ’résoudre pacifiquement’ leur différend frontalier."
Aujourd’hui : "20 soldats Indiens tués par l’armée chinoise ’avec des bâtons, des pierres et des matraques enveloppées dans du fil de fer barbelé’."

*